quarta-feira, 10 de novembro de 2010
O grande império desintegra-se, por volta do 700 a.C., e até aproximadamente, 400 a.C. coexistem estados independentes em, praticamente, permanente guerra uns com os outros.
Foi nessa época que surgiram as duas principais correntes filosóficas da China: o confucionismo, que ressaltava os princípios morais, e o taoísmo, que defendia uma vida em harmonia com a natureza.
Na dinastia a seguir, a dinastia Han (200 a.C. a 220 d.C.), muitos dedicaram o seu tempo a transcrever, de memória, textos literários e científicos e a procurarem manuscritos que tivesses escapado à destruição. Foi nesta altura que o mais influente dos textos matemáticos chineses foi compilado - Chiu Chang Suan Shu (Os nove capítulos da arte matemática), o livro contém 246 problemas distribuídos por 9 capítulos. É também deste período o texto Shu Shu Chi Yi onde se encontra uma primeira abordagem dos quadrados mágicos.
A época compreendida entre os anos 221 e 581 é conhecida como a dos três reinados e das seis dinastias. Nesse período, a China sofreu divisões internas e o ataque de diversos povos nómadas (tibetanos, turcos e mongóis). Contudo esta época atribulada não pôs cobro à actividade matemática.
Neste período, viveu o matemático Liu Hui (c. 260), que comentou os Nove Capítulo e escreveu Haidao Suanjing - O manual da aritmética da ilha - escrito inicialmente como apêndice ao capítulo 9º dos Nove Capítulos o livro contém 9 problemas, versando o teorema de Pitágoras, com soluções. É também desta época o livro Sunzi Suanjing - Manual aritmético do Mestre Sol (c. 300 d.C.) - escrito por Sun Zi. O livro está dividido em 3 capítulos, o último dos quais tem uma colecção problemas aritméticos.
Na segunda metade do século V, aparece o Manual Aritmético escrito por Zhang Quijan, este livro contém 92 problemas divididos por 3 capítulos.
Em 581, a dinastia Sui (581 a 618), reunificou, de novo, o país.
Segui-se a dinastia Tang (618-906). Durante essa época, a China conheceu grande desenvolvimento artístico (poesia e pintura) e científico e entrou em contacto com outras civilizações, como a japonesa, a coreana, a indiana e a árabe. Este período foi caracterizado por uma forte influência estrangeira. É desta altura o texto Jigu Suanjing - Continuação da Matemática Antiga (cerca de 625). Foi escrito por Wang Xiatong, e contém 22 problemas sobre irrigação, construção de celeiros e resolução de triângulos rectângulos. É, também. deste período uma enciclopédia sobre a matemática clássica do passado - Suan Ching Shih Shu - Os Dez Manuais de Matemática.
O período de florescimento cultural e de expansão territorial da dinastia Tang terminou com a derrota chinesa frente aos árabes em 751, na fronteira norte-ocidental. A partir desse momento, começou uma fase de decadência e esta resultou em nova fragmentação que sobreveio à queda dos Tang, em 907.
O período das cinco dinastias e dos dez estados, entre 907 e 960, caracterizou-se pelo caos político.
A partir de 960, a dinastia Sung (960-1279) reorganizou o país impondo reformas tributárias que aliviaram a situação económica dos camponeses e favoreceram o comércio. Nessa época houve grande desenvolvimento cultural, com a difusão de textos impressos. Este período produziu alguns dos grandes matemáticos da China, especialmente do século XIII.
MATEMÁTICA ÁRABE - A CASA DA SABEDORIA
Foi a era maometana que proporcionou o grande desenvolvimento da matemática árabe.No século sétimo da era cristã, enquanto Brahmaguta fazia seus escritos de elevada matemática a península arábica passava por uma crise sem precedentes, porque o Império Sabeano havia caído e era habitada por nômades do deserto, os beduínos, que eram, também , guerreiros. Foi então que nasceu e cresceu ali, na mesma condição, o seu grande reformador : Maomé, que, mercador, andou durante muitos anos em longas viagens, estabelecendo contatos com judeus e cristãos. E, a certo momento, por inspiração mística, tornou-se o grande líder de seu povo, unindo-o sob o Corão e conduzindo-o para um futuro glorioso durante muitos séculos, com muitas conquistas territoriais e adquirindo, em contato com as culturas submetidas, ilustração e sofisticação, especialmente na matemática, assim como já ocorrera com os gregos, dois mil anos antes de Cristo, e com os romanos, um milênio depois. E o seu ponto forte foram as artes e a matemática.No início, enquanto Maomé vivia , judeus e cristãos eram protegidos por ele e seus seguidores e encontravam guarida e proteção em suas terras. A religião assim instituída por ele tinha por princípio a fraternidade entre os monoteístas , o que somente começou a deteriorar-se depois de sua morte, quando seus seguidores, ainda guerreiros, dedicaram-se à expansão do Império Islâmico e interesses materiais produziram diferenças e discórdias, como acontece em todas as sociedades humanas.E foi por volta de 750 que tudo se abrandou e o Império Árabe se dividiu em dois (os ocidentais, em Marrocos e os orientais, que se estabeleceram em Bagdad).Assim é que em Bagdad o califa al-Mansur surgiu um grande e novo Centro da Matemática e deu-se o Milagre Árabe, repetição histórica do Milagre Grego e do Milagre Romano.
Final do século VIII - Foi traduzido para o árabe o livro Sidhanta,dos hindus e o Tetrabiblos astrológico de Ptolomeu e, então, está fincada a pedra filosofal da hegemonia matemática árabe.Foram três os grandes mecenas da cultura islâmica que nascia- os califas al-Mansur, Harum al-Rachid (nosso conhecido do célebre “Mil e Uma Noites”, com a princesa Scheherazade) e al-Mamum.Al-Mansur foi o grande unificador. Sob ele se desenvolveu a alquimia e a astrologia. Harum al-Rachid - sob seu reinado se traduziu grande parte dos escritos da matemática de Euclides para a língua árabe, na verdade franca entre os intelectuais especialmente. Al-Mamum decidiu e determinou a tradução para o árabe de todos os escritos gregos que fossem encontrados e assim o foram o Almagesto de Ptolomeu e uma versão integral de Os Elementos de Euclides. Foi ele quem erigiu em Bagdad a “Casa da Sabedoria” (“Bat al-hikma”), somente comparável, no mundo antigo, ao Museu de Alexandria. Os manuscritos gregos foram obtidos através de tratados com o Império Bizantino.Casa da Sabedoria - Grandes vultos :Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi – ficou tão conhecido na Europa Ocidental quanto Euclides, graças a seus feitos no campo da astronomia, baseado inicialmente em ensinamentos vindos da Índia, através dos Sindhind. Morreu por volta de 850 e são seus maiores feitos : mais de meia dúzia de obras de astronomia e matemática.Tabelas astronômicas, tratados sobre o astrolábio e o relógio de sol, livros de aritmética e álgebra. Fez uma exposição (que em nossos dias se chamaria propaganda) tão elaborada e sofisticada dos numerais hindus que hoje nós ocidentais usamos, que até os nossos dias há a impressão de que eles foram criação árabe, e por isso são chamados arábicos, embora ele afirmasse sempre a origem hindu.Morreu em 850.
Al-Khowarizimi é considerado o “Pai da Álgebra”. Do seu nome nos veio o nome da nova notação dos números - alkhowarizimi? algorismi ? algorismo ou algoritmo?algarismo - é sua grande marca na aritmética; Do nome de sua principal obra veio o nome da matéria que hoje estudamos : Al-jabr Wa’l muqabalah ? almucabola ?mucabala. “ A palavra al-jabr presumivelmente significa algo como “restauração”ou “completação” e parece referir-se à transposição de t ermos subtraídos para o outro lado da equação, a palavra muqabalah, ao que se diz, refere-se a “redução” ou “equilíbrio” – isto é, ao cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação. A influência árabe na Espanha muito depois do tempo de al-Khowarizmi pode ser vista no Dom Quixote, onde a palavra algebrista é usada para indicar um “restaurador” de ossos.” (In História da Matemática, idem, fls. 156). Grande Computador da Humanidade :Foram tantas as influências na cultura árabe, pois tiveram a oportunidade de ler e estudar os antigos tratados da Mesopotâmia, da Índia, da Grécia, de Roma e outras culturas que os precederam e contemporâneos, que é difícil de dizer a qual linha dentre essas ela se filiou. Mas pode-se dizer que, do conjunto de todas surgiu algo novo, com características místicas e pragmáticas, com o abandono de determinadas tendências hinduístas que não se desenvolveram e pereceram, como a análise indeterminada. Assim, a partir do século nono, foi realmente a matemática árabe que passou a influir em todo o mundo conhecido : eles foram como que um gigantesco computador da humanidade que recolheu dela todos os dados importantes e, fazendo uma “mixagem” , apresentaram novas descobertas, que deram origem à moderna matemática, que levou o homem ao espaço sideral. E aí se incluem as artes, a música – com a introdução das escalas maiores e menores ainda não conhecidas no ocidente e que permitiram uma infinita combinação de ritmos e sons riquíssimos a uma música ocidental que se resumia mais nos “cantochões” religiosos que não possuíam muitas variedades melódicas ( são aquelas que usam bemóis e sustenidos), a astronomia, a navegação, a matemática.
Outros grandes vultos da Casa da Sabedoria :
‘Abd-al-Hamid ibn-Turk – século nove – equação quadrática, discriminante negativo, prova da equação sem solução, figuras geométricas. Sua principal obra é chamada “Necessidades Lógicas em Equações Mistas”, semelhante ao Al-jabr, mas com maiores esclarecimentos – usa figuras geométricas para provar que, quando o discriminante é negativo, uma equação quadrática não tem solução.Thabit ibn-Qurra – século nove - equivalente árabe de Papus de Alexandria, ambos comentadores da matemática superior. Fez provas de alternativas do teorema de Pitágoras, trabalhou em segmentos parabólicos, quadrados mágicos, trissecções de ângulos e novas teorias astronômicas, propondo a chamada “trepidação dos equinócios”.Abu’l Wefa – século dez - sistematização da trigonometria , que se chama trigonometria árabe, introduzindo a noção de fórmulas para provar teoremas, tais como para ângulo duplo ou metade, lei para triângulos esféricos, nova tabela para ângulos diferentes, diferindo (1/4)º, usando o equivalente a oito casas decimais.Al-Karkhi – século onze – primeiras soluções numéricas das equações de forma ax²n + bxn = c . Bases para a matemática da Renascença.Al-Biruni e Alhazen – século doze o primeiro e dez, o segundo - o primeiro, vários trabalhos, inclusive de física, com discussão sobre se a Terra gira em torno do seu eixo,mas não deu a resposta, problema de gnonon, ou do cálculo das sombras hindu, estudos sobre gravidade específica e poços artesianos, solução aproximada em fraçõpes sexagesimais , fórmula trigonométrica para cós 3? , facilitou a solução da equação x³ = 1 + 3x ; o segundo superou o primeiro e é conhecido por esse nome no Ocidente, mas o seu nome é realmente Ibn-al-Haitham e viveu entre 965 e 1039 – escreveu o tratado “Tesouro da Óptica”, inspirado em Ptolomeu sobre a refração e reflexão e influenciou cientistas da Europa na Renascença - estrutura do olho, aumento aparente do tamanho da Lua quando próxima do horizonte, avaliação da altura da atmosfera, o célebre “problema de Alhazen sobre ponto de reflexo em espelho esférico, área limitada por arco parabólico. IbnYunus– final do século XI - uma das fórmulas para “produto da soma” muito utilizado na Renascença.
OMAR KHAYYAM - viveu no século XII – é mais conhecido no Ocidente como o maior poeta persas (as suas célebres Rhubayatas) , mas foi um gênio polivalente e teve na matemática uma de suas maiores formas de expressão. Conhecido como “fabricante de tendas”, também, escreveu um tratado de Álgebra, superior ao de al-Khowarizmi e dava soluções aritméticas e algébricas para equações do segundo grau; outros trabalhos : equações do 3º grau em soluções algébricas, secções cônicas, avanço na direção da matemática de Descartes, que viria quase quinhentos anos depois, chegou perto de definir os números irracionais.Uma obra citada por ele em sua Álgebra foi perdida e nela ele expunha um método para encontrar as potências quarta, quinta ,sexta e mais altas de um binômio – seria um arranjo ao triângulo de Pascal – os chineses e hindus, na mesma época, também fizeram a mesma coisa e as evidências que se tem hoje da pouca possibilidade de comunicação entre aqueles povos exclui a possibilidade de uma cópia ou de troca de idéias entre eles. Elaborou um teorema sobre o Postulado das Paralelas , o quinto de Euclides, que sempre foi um desafio até mesmo para gregos e até mesmo no século dezoito na Europa – “Omar Khayyam partiu então de um quadrilátero com dois lados iguais, ambos perpendiculares à base (usualmente chamado”quadrilátero de Saccheri”, novamente em reconhecimento de esforços no século dezoito ) e perguntou como seriam os outros ângulos (os superiores) do quadrilátero, que são necessariamente iguais um ao outro. Há é claro , três possibilidades. Os ângulos podem ser 1) agudos, 2) retos, ou 3) obtusos. Omar Khayyam excluiu a primeira e a terceira possibilidade, baseando-se em um princípio, que atribuiu a Aristóteles, que diz que duas retas convergentes devem cortar-se – novamente um enunciado equivalente ao postulado das paralelas de Euclides.” (Idem, fls 166). Nasir Eddin –século XII e Al-Kashi, no século XV.
Final do século VIII - Foi traduzido para o árabe o livro Sidhanta,dos hindus e o Tetrabiblos astrológico de Ptolomeu e, então, está fincada a pedra filosofal da hegemonia matemática árabe.Foram três os grandes mecenas da cultura islâmica que nascia- os califas al-Mansur, Harum al-Rachid (nosso conhecido do célebre “Mil e Uma Noites”, com a princesa Scheherazade) e al-Mamum.Al-Mansur foi o grande unificador. Sob ele se desenvolveu a alquimia e a astrologia. Harum al-Rachid - sob seu reinado se traduziu grande parte dos escritos da matemática de Euclides para a língua árabe, na verdade franca entre os intelectuais especialmente. Al-Mamum decidiu e determinou a tradução para o árabe de todos os escritos gregos que fossem encontrados e assim o foram o Almagesto de Ptolomeu e uma versão integral de Os Elementos de Euclides. Foi ele quem erigiu em Bagdad a “Casa da Sabedoria” (“Bat al-hikma”), somente comparável, no mundo antigo, ao Museu de Alexandria. Os manuscritos gregos foram obtidos através de tratados com o Império Bizantino.Casa da Sabedoria - Grandes vultos :Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi – ficou tão conhecido na Europa Ocidental quanto Euclides, graças a seus feitos no campo da astronomia, baseado inicialmente em ensinamentos vindos da Índia, através dos Sindhind. Morreu por volta de 850 e são seus maiores feitos : mais de meia dúzia de obras de astronomia e matemática.Tabelas astronômicas, tratados sobre o astrolábio e o relógio de sol, livros de aritmética e álgebra. Fez uma exposição (que em nossos dias se chamaria propaganda) tão elaborada e sofisticada dos numerais hindus que hoje nós ocidentais usamos, que até os nossos dias há a impressão de que eles foram criação árabe, e por isso são chamados arábicos, embora ele afirmasse sempre a origem hindu.Morreu em 850.
Al-Khowarizimi é considerado o “Pai da Álgebra”. Do seu nome nos veio o nome da nova notação dos números - alkhowarizimi? algorismi ? algorismo ou algoritmo?algarismo - é sua grande marca na aritmética; Do nome de sua principal obra veio o nome da matéria que hoje estudamos : Al-jabr Wa’l muqabalah ? almucabola ?mucabala. “ A palavra al-jabr presumivelmente significa algo como “restauração”ou “completação” e parece referir-se à transposição de t ermos subtraídos para o outro lado da equação, a palavra muqabalah, ao que se diz, refere-se a “redução” ou “equilíbrio” – isto é, ao cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação. A influência árabe na Espanha muito depois do tempo de al-Khowarizmi pode ser vista no Dom Quixote, onde a palavra algebrista é usada para indicar um “restaurador” de ossos.” (In História da Matemática, idem, fls. 156). Grande Computador da Humanidade :Foram tantas as influências na cultura árabe, pois tiveram a oportunidade de ler e estudar os antigos tratados da Mesopotâmia, da Índia, da Grécia, de Roma e outras culturas que os precederam e contemporâneos, que é difícil de dizer a qual linha dentre essas ela se filiou. Mas pode-se dizer que, do conjunto de todas surgiu algo novo, com características místicas e pragmáticas, com o abandono de determinadas tendências hinduístas que não se desenvolveram e pereceram, como a análise indeterminada. Assim, a partir do século nono, foi realmente a matemática árabe que passou a influir em todo o mundo conhecido : eles foram como que um gigantesco computador da humanidade que recolheu dela todos os dados importantes e, fazendo uma “mixagem” , apresentaram novas descobertas, que deram origem à moderna matemática, que levou o homem ao espaço sideral. E aí se incluem as artes, a música – com a introdução das escalas maiores e menores ainda não conhecidas no ocidente e que permitiram uma infinita combinação de ritmos e sons riquíssimos a uma música ocidental que se resumia mais nos “cantochões” religiosos que não possuíam muitas variedades melódicas ( são aquelas que usam bemóis e sustenidos), a astronomia, a navegação, a matemática.
Outros grandes vultos da Casa da Sabedoria :
‘Abd-al-Hamid ibn-Turk – século nove – equação quadrática, discriminante negativo, prova da equação sem solução, figuras geométricas. Sua principal obra é chamada “Necessidades Lógicas em Equações Mistas”, semelhante ao Al-jabr, mas com maiores esclarecimentos – usa figuras geométricas para provar que, quando o discriminante é negativo, uma equação quadrática não tem solução.Thabit ibn-Qurra – século nove - equivalente árabe de Papus de Alexandria, ambos comentadores da matemática superior. Fez provas de alternativas do teorema de Pitágoras, trabalhou em segmentos parabólicos, quadrados mágicos, trissecções de ângulos e novas teorias astronômicas, propondo a chamada “trepidação dos equinócios”.Abu’l Wefa – século dez - sistematização da trigonometria , que se chama trigonometria árabe, introduzindo a noção de fórmulas para provar teoremas, tais como para ângulo duplo ou metade, lei para triângulos esféricos, nova tabela para ângulos diferentes, diferindo (1/4)º, usando o equivalente a oito casas decimais.Al-Karkhi – século onze – primeiras soluções numéricas das equações de forma ax²n + bxn = c . Bases para a matemática da Renascença.Al-Biruni e Alhazen – século doze o primeiro e dez, o segundo - o primeiro, vários trabalhos, inclusive de física, com discussão sobre se a Terra gira em torno do seu eixo,mas não deu a resposta, problema de gnonon, ou do cálculo das sombras hindu, estudos sobre gravidade específica e poços artesianos, solução aproximada em fraçõpes sexagesimais , fórmula trigonométrica para cós 3? , facilitou a solução da equação x³ = 1 + 3x ; o segundo superou o primeiro e é conhecido por esse nome no Ocidente, mas o seu nome é realmente Ibn-al-Haitham e viveu entre 965 e 1039 – escreveu o tratado “Tesouro da Óptica”, inspirado em Ptolomeu sobre a refração e reflexão e influenciou cientistas da Europa na Renascença - estrutura do olho, aumento aparente do tamanho da Lua quando próxima do horizonte, avaliação da altura da atmosfera, o célebre “problema de Alhazen sobre ponto de reflexo em espelho esférico, área limitada por arco parabólico. IbnYunus– final do século XI - uma das fórmulas para “produto da soma” muito utilizado na Renascença.
OMAR KHAYYAM - viveu no século XII – é mais conhecido no Ocidente como o maior poeta persas (as suas célebres Rhubayatas) , mas foi um gênio polivalente e teve na matemática uma de suas maiores formas de expressão. Conhecido como “fabricante de tendas”, também, escreveu um tratado de Álgebra, superior ao de al-Khowarizmi e dava soluções aritméticas e algébricas para equações do segundo grau; outros trabalhos : equações do 3º grau em soluções algébricas, secções cônicas, avanço na direção da matemática de Descartes, que viria quase quinhentos anos depois, chegou perto de definir os números irracionais.Uma obra citada por ele em sua Álgebra foi perdida e nela ele expunha um método para encontrar as potências quarta, quinta ,sexta e mais altas de um binômio – seria um arranjo ao triângulo de Pascal – os chineses e hindus, na mesma época, também fizeram a mesma coisa e as evidências que se tem hoje da pouca possibilidade de comunicação entre aqueles povos exclui a possibilidade de uma cópia ou de troca de idéias entre eles. Elaborou um teorema sobre o Postulado das Paralelas , o quinto de Euclides, que sempre foi um desafio até mesmo para gregos e até mesmo no século dezoito na Europa – “Omar Khayyam partiu então de um quadrilátero com dois lados iguais, ambos perpendiculares à base (usualmente chamado”quadrilátero de Saccheri”, novamente em reconhecimento de esforços no século dezoito ) e perguntou como seriam os outros ângulos (os superiores) do quadrilátero, que são necessariamente iguais um ao outro. Há é claro , três possibilidades. Os ângulos podem ser 1) agudos, 2) retos, ou 3) obtusos. Omar Khayyam excluiu a primeira e a terceira possibilidade, baseando-se em um princípio, que atribuiu a Aristóteles, que diz que duas retas convergentes devem cortar-se – novamente um enunciado equivalente ao postulado das paralelas de Euclides.” (Idem, fls 166). Nasir Eddin –século XII e Al-Kashi, no século XV.
A MATEMÁTICA GREGA E O ENSINO ATUAL DA MATEMÁTICA
Gérard Emile Grimberg, IM-UFRJ.
e-mail:
gerard.emile@terra.com.brResumo:
matemática grega na formação do professor de ensino médio. Este papel não diz
respeito apenas à formação da disciplina, mas também ao entendimento do contexto
histórico que acompanha a evolução da matemática. Assim nosso trabalho divide-se em
três partes. 1) O contexto histórico em que se desenvolveu a matemática grega, 2) Os
Elementos de Euclides e seu modo de exposição e de transmissão, e 3) o interesse para
o ensino atual.
o nosso trabalho visa enfatizar o papel que pode desempenhar o estudo daPalavras chaves:
matemática, historia da matemática.
matemática grega, Euclides, ensino da matemática, filosofia daIntrodução:
Pretendemos ressaltar neste pequeno trabalho a importância do estudo da
matemática grega para a formação dos professores do ensino médio. Esta perspectiva
pode parecer paradoxal na medida em que a matemática que se ensina hoje conservou
poucas coisas do modo de exposição e da perspectiva dos
Elementos de Euclides ou daColeção matemática
da geometria sintética. A axiomática da geometria euclidiana infelizmente não aparece
mais como um conteúdo a ser transmitido no quadro do ensino médio. Quanto ao
conceito atual de número (que pensa os números como sucessivas extensões construídas
a partir de N seguindo a cadeia N
aritmética (domínio dos números inteiros positivos) e a geometria (domínio das
grandezas e das razões de grandezas) que acompanhou todo o desenvolvimento e o
ensino da matemática até o século XIX.
Enquanto a matemática grega, apesar da separação entre aritmética e geometria,
aparecia como uma construção coerente e unívoca, e assim, se manteve até o século 17
no ensino da matemática, o ensino da matemática do ensino médio atual parece em
compensação apresentar uma coleção de elementos disparates, e de métodos que se
apresentam nos manuais como um catálogo de técnicas destinadas a resolver problemas
chamados “concretos” por serem enunciados com as palavras da linguagem quotidiana.
Deste ponto de vista o ensino atual sofre de uma carência essencial, a de não apresentar
a unidade da matemática, isto é, uma perspectiva que possibilita a compreensão das
diversas conexões que interligam os diferentes conteúdos ensinados (geometria, álgebra
e análise) além do que constitui a sua especificidade em relação aos outros domínios do
saber, isto é, construção de formas de pensamento que permitem a compreensão das
leis da natureza.
Não pretendemos propor uma via que possa resolver todos estes problemas, mas
pensamos que o conhecimento da herança da matemática grega ajudaria o professor a
conceber suas aulas de geometria tendo em vista esta perspectiva e tentaremos dar
alguns elementos que possibilitem a elaboração de um encaminhamento nesta direção.
Queremos enfatizar a construção desta visão unitária através de três aspectos: 1)
O contexto histórico em que se desenvolveu a matemática grega, 2) Os Elementos de
Euclides e seu modo de exposição e de transmissão e 3) o interesse para o ensino atual.
de Pappus. Hoje a geometria analítica é preferido em detrimento⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ), ele veio apagar a separação entre1) O Contexto Histórico
O começo da matemática grega é diretamente ligado a formação das cidades
gregas (Jônia, e Magna Grécia, um pouco depois Atenas) e dos primeiros escritos que
tentam explicar sua Natureza. Os estudos de J.P. Vernant e P. Vidal-Naquet [1975] tem
analisado como o discurso cosmológico (Tales, Anaximandro, Anaximènes) inaugura
um novo tipo de questionamento em relação a natureza, buscando descobrir nela os
elementos materiais e as forças que a determinam. Este fenômeno é ligado ao
nascimento da cidade grega, nova organização geográfica assim como política com leis
escritas e cidadãos (os homens livres) que decidem o destino da cidade. Esta capacidade
do homem grego de ter o domínio sobre as coisas da sociedade é o motor da nova visão
do mundo. Com os pensadores da Grécia Magna continua-se o questionamento Jônico.
Pitágoras introduz a matemática como o fator que explica e representa a Natureza (“toda
coisa é número”). O poema
mostrado (Grimberg [2007]) o tratado do discurso verdadeiro, com os princípios que
governam a lógica formal (princípios de identidade, de contradição e do terceiro
excluído). Este tipo de questionamento não se aplica mais diretamente a natureza mas
enuncia as regras que permite ao próprio pensamento de poder explicar a natureza. Já no
poema constam exemplos de demonstração pelo absurdo. Zenão desenvolverá este tipo
de demonstração através dos seus famosos paradoxos (Caveing [2000]).
Esta nova problemática é também relacionada à evolução das cidades gregas. As
leis da cidade devem ser lógicas. O advogado de uma causa precisa convencer os juizes
de que o seu cliente respeitou as leis mediante uma argumentação demonstrativa. O
início da elaboração do discurso demonstrativo na matemática pode ser situado entre
Parmênides e Platão, pois na
geometria e de aritmética,
Sobre a Natureza de Parmênides constitui como o temosRepublica, 510b, ele escreve que os que tratam de“supõem o par e o ímpar, as figuras, três espécies de ângulos e outras coisas semelhantes conforme a sua
pesquisa, que as tratam enquanto coisas conhecidas, enquanto hipóteses, estimando que eles não tem
mais que justificar nem para si nem para os outros, visto que são evidentes para todos, e partindo destas,
percorrendo o resto, eles chegam por via de conseqüência até a demonstração que eles tencionavam
encontrar”.
Este processo acompanha também o discurso filosófico. Platão elabora uma teoria,
que visa definir não apenas as boas definição, e o que caracteriza o saber (
também, a questão de um discurso verdadeiro que elimina toda possibilidade de
contradição (
discurso (Sofista) etc. Para Platão a matemática é muitas vezes fonte de comparação e
de inspiração de sua reflexão. Aristóteles não acredita que a matemática pode ser a
ferramenta para descrever a Natureza, mas ele utiliza no
matemáticos. Devemos a ele a primeira exposição (por certo muito alusiva) da primeira
demonstração matemática pelo absurdo (irracionalidade da Raiz de 2) que ele menciona
como exemplo nos
na sua Metafísica é diretamente inspirada da igualdade das razões (Vuillemin [1967] e
Szabo [1969] p. 162 e sqq.). Este exemplo é significativo, pois a palavra “razão” é a
tradução do grego
em razão.
Este contexto histórico dentro do qual se constituiu a matemática grega
desempenha um papel muito importante para o ensino, pois mostra como no começo a
matemática insere-se dentro do processo social, político e ideológico. Para Platão, o
cidadão esclarecido deve conhecer a matemática e o que mostra os textos deste filósofo
através dos exemplos matemáticos que ele cita, e que de fato elementos do saber
matemático faziam parte do saber comum de todo cidadão grego.
Teeteto), masParmênides), assim como a questão das categorias que permitem talOrganon vários exemplosSegundos Analíticos. A concepção da analogia que Aristóteles expõelogos, e a palavra “analogia” significa literalmente an logos ou igual2) Os Elementos de Euclides:
O interesse dos
fundamentalmente em dois aspectos a) a arquitetura da obra e o modo de exposição b)
O próprio conteúdo e os teoremas demonstrados.
a) A arquitetura dos Elementos revela a divisão da matemática em dois domínios
distintos que foram completamente superados apenas no século XIX. A geometria
(grandezas e medidas) e a aritmética (ordem e números) constituem duas disciplinas
separadas, cada uma com a sua própria axiomática, e com seus próprios métodos. Mas
em ambas as esferas, a exposição das propriedades e das demonstrações seguem um
estilo já evidenciado por Proclus no seu
historiadores (cf Szabo [2000] p. 241 e sqq, Gardies [1997], pp. 88 e sqq). As seis
etapas da exposição (enunciado, exposição, diorismo, construção, demonstração,
conclusão) constituem ainda um modelo para expor hoje qualquer teorema de geometria.
Gardies também tem mostrado o quanto a lógica proposicional implícita que consta nas
demonstrações de Euclides é imprescindível para entender a estrutura das
demonstrações (Gardies [1997], pp. 51-75) .
Uma outra qualidade do modo de exposição lógico-dedutivo dos
que constam em cada demonstração as propriedades utilizadas. Ler e estudar estas
demonstrações possibilita aprender as formas retóricas que ritmam e governam a
redação de um texto matemático.
Encontram-se também os três tipos de demonstrações essenciais: a demonstração
direta, a
pode assim ser um verdadeiro campo de treinamento para o futuro professor.
b) O segundo aspecto é o próprio conteúdo dos
Bongiovanni [2007], o estudo histórico do chamado teorema de Tales permite
implementar e estruturar uma aula sobre este assunto. Ora a quase totalidade dos
teoremas de geometria ensinados no ensino médio como o teorema de Pitágoras, da
bissetriz interna e externa assim como os cálculos de áreas constam na obra de Euclides.
Iniciar um estudo destes teoremas pelas demonstrações que se encontra nos
uma etapa necessária mesmo que o modo de exposição destes teoremas seja marcado
historicamente.
O livro V, onde é exposta a teoria das razões das grandezas, oferece algumas
técnicas de demonstrações que são aquelas que empregamos nas aproximações dos
números reais e na compreensão do conceito mesmo de irracional. Podemos também
mencionar o Livro X para a caracterização de grandezas incomensuráveis e os métodos
infinitesimais (Itard [1984], p. 89-96 e 139-142).
No que diz respeito à aritmética, encontramos a razão pela qual a divisão de
números inteiros é chamada Euclidiana e a maior parte das propriedades (números
primos, fatoração, infinidade dos números primos) cujas demonstrações no ensino
básico são inspiradas também de Euclides.
Elementos de Euclides para a formação do professor resideComentário e tem sido analisados por váriosElementos ereductio ad absurdum, e o raciocínio por contraposta. O estudo de EuclidesElementos. Assim como o mostraElementos é3) O interesse para o ensino atual
Queremos enfatizar alguns enfoques que, a nosso ver, deveria nortear a
formação do futuro professor do ensino médio.
Os parâmetros curriculares são elaborados tendo em vista os conceitos modernos
da matemática (números, vetores, transformações, etc.), mas o que fornece uma
significação a estes conceitos é a própria história da matemática. Os textos da
matemática passada permitem questionar esses conceitos e entender a sua necessidade.
O problema do ensino atual da geometria no ensino médio é que os axiomas não
são mais explícitos e, neste quadro fica difícil ensinar as técnicas de demonstrações. O
estudo de textos como os
facilita a compreensão das etapas de uma demonstração na medida em que os prérequisitos
são explícitos.
O estudo dos textos históricos permite também estudar várias demonstrações de
uma propriedade e a diversidade das soluções de um problema é importante para
entender as relações que existem entre diferentes conceitos. Por exemplo, os casos de
congruência dos triângulos remetem às propriedades das isometrias do plano e
conseguir relacionar uma demonstração utilizando um caso de congruência com uma
outra que emprega isometrias fornece uma compreensão mais profunda dos conceitos.
Sabemos que a aritmética e a geometria eram completamente separadas mas todavia
Euclides como Pappus e os outros matemáticos ensinava cada uma dessas disciplinas
tendo em vista a coerência profunda que elas possuíam. A perda de vista desta
perspectiva foi provavelmente causada pela reação à introdução da matemática chamada
moderna no ensino e aos exageros que o formalismo acarretou. Mas para ensinar neste
contexto onde as noções a serem ensinadas não aparecem como fazendo parte de uma
construção, o professor do ensino médio deve conseguir esta perspectiva de unidade das
teorias matemáticas e esta só se assimila olhando para a história.
O professor do ensino médio não é apenas professor de matemática. Ele ensina
também a língua: a redação das definições, das propriedades e das soluções constitui
uma parte importante do seu trabalho. O estudo de textos antigos representa deste ponto
de visto um enriquecimento.
O interesse da matemática grega ultrapassa o conteúdo matemático. Assim que
nos o ressaltamos na primeira parte, a matemática faz parte de um contexto e se
relaciona aos outros domínios da vida social e política e aos outros saberes. Este
conteúdo cultural é também uma dos objetivos do ensino.
Muitas vezes a criança pergunta : “Mas para que serve a matemática ?” Esta
pergunta deve ser entendida como “Mas por que tenho de estudar a matemática? “, já
que sem duvida o aluno sabe que para a tecnologia, para a computação a matemática é
sem dúvida muito eficiente... A resposta mais adequada é talvez a de Platão que
considerava a matemática como uma propedêutica, uma aprendizagem do pensamento...
Elementos ou os problemas da Coleção matemática de PappusBIBLIOGRAFIA
Bongiovanni Vincenzo [2007], “O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e
o numérico”,
UFSC: 2007.
Caveing [2002],
Gardies Jean-Louis [1988],
reconstitution.
Gardies Jean-Louis [1997],
Archimède
Grimberg Gérard [2007], “Parmênide e a matemática”,
2007, pp. 55-68.
REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação Matemática. V2.5, p. 94-106,Zenão et le continu, Vrin 2002.L´héritage épistémologique d´Eudoxe de Cnide, un essai deVrin Paris.L´organisation des matematiques grecques de Théétète à, Vrin Paris.Anais de filosofia clássica, Vol. 1 nº 1,Itard Jean [1952],
Szabó Àrpád [1969],
mathématiques grecques, trad. M. Federspiel, Vrin Paris 1977.
Szabó Àrpád [1993],
mathématiques grecques, trad. M. Federspiel, Vrin Paris 2000.
Vernant Jean-Pierre, Vidal-Naquet Pierre [1975], La grève ancienne, 3 volumes,
Maspero, reed. Seuil 1991.
Vita Vicenzo [1984, “Il punto nella terminologia matematica greca”,
History of Exact Sciences
Vuillemin J. [1967] , “l´analogie” in Essais d´histoire des mathématiques, Blanchard, Paris 1984..Anfänge der griechischen Mathematik, Les débuts desEntfaltung der griechischen Mathematik, L´aube desArchives for the, 27 June 1982, pp. 101-114.De la logique à la théologie, Flamarion Paris.
Nos documentos históricos sobre a matemática grega, como já descreveu Wallis, não se encontram indicações da natureza do raciocínio utilizado para se alcançar os resultados. Tudo é expresso de forma limpa, direta, perfeita, o que não condiz, é claro, com a realidade na solução de problemas. Segundo Wallis, sobre Arquimedes: "é como se seu propósito fosse apagar os rastros de suas investigações, como se ele tivesse negado à posteridade o segredo de seus métodos de inquirir enquanto desejava extorquir deles anuência para os seus resultados".
Considera-se que a matemática grega começou com Tales (c. 585 a.C.) e com Pitágoras (c.550 a.C.). As informações sobre os matemáticos daquele tempo até Platão (c. 347 a.C.) foram obtidas de testemunhos, de depoimentos que não forneciam os métodos e as provas das conquistas alcançadas.
Tales é considerado o primeiro matemático, pois lhe são atribuídas descobertas matemáticas específicas. Sabe-se que Tales viajou ao Egito e Babilônia onde teria aprendido que um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. No entanto, atribui-se a ele a demonstração desse teorema e de outros quatro da geometria. Por isso Tales foi considerado o originador da organização dedutiva da geometria.
Credita-se aos gregos, com segurança, a introdução da estrutura lógica à geometria, mas não se sabe se devido à Tales ou a outros depois dele.
Outro personagem de destaque no mundo grego é Pitágoras. Este não era só um matemático, mas um filósofo, envolvido especialmente com religião e até mesmo política. Contemporâneos de Pitágoras são Buda, Confúcio e Lao-Tse, caracterizando, portanto, esse tempo como de intensa atividade religiosa.
Pitágoras, de volta do Egito e Babilônia (como Tales), fundou uma sociedade secreta que tinha base matemática e filosófica. Não se costuma falar em descobertas de Pitágoras, mas sim dos pitagóricos, pois a sociedade por ele fundada, além de secreta tinha por norma que o conhecimento era comunitário, não sendo atribuído a um autor apenas.
Uma característica notável na escola pitagórica era a confiança no estudo da matemática e da filosofia como base moral para a conduta.
As palavras filosofia ("amor à sabedoria") e matemática ("o que é aprendido"), supõe-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras.
Os pitagóricos desempenharam um importante papel na história da matemática porque mudaram radicalmente a concepção egípcia e babilônia. A matemática, para os pitagóricos era incluída na definição de filosofia, os rituais a que eram submetidos tinham muito de matemática. Para o egípcios e babilonios a aritmética tinha muito mais a ver com situações práticas e concretas.
Segundo Aristóteles, para os pitagóricos o número significava matéria. Assim, eles chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície de três e um sólido de quatro. A soma de pontos gerava retas, a de retas, superfícies e a de superfícies, sólidos. De maneira que com seus um, dois, três e quatro, poderiam construir o universo! O número 10 era especial para os pitagóricos, pela crença conhecida como tetractys (conjunto de quatro). Pitágoras dizia que contar 1, 2, 3, até 4 era igual a 10, um triângulo perfeito "nosso juramento": "ele que tem confiado a tetractys à nossa alma, a fonte e a raiz da natureza eterna".
Realmente, os pitagóricos revolucionaram o pensamento matemático, pela evidente característica filosófica que lhe atribuíram.
No século III a.C. estabeleceu-se a estrutura axiomática da matemática, com Euclides, que unificou uma coleção completa de teoremas isolados num sistema simples e dedutivo. Baseando-se em postulados iniciais, definições e axiomas.
Assim começa a real abstração matemática, discutindo-se a existência ou não do infinito, os números infinitesimais, os paradoxos de Zenon, e as relações do universo.
Por: Alunos do curso de Licenciatura em Ciências Exatas da USP de São Carlos.
Considera-se que a matemática grega começou com Tales (c. 585 a.C.) e com Pitágoras (c.550 a.C.). As informações sobre os matemáticos daquele tempo até Platão (c. 347 a.C.) foram obtidas de testemunhos, de depoimentos que não forneciam os métodos e as provas das conquistas alcançadas.
Tales é considerado o primeiro matemático, pois lhe são atribuídas descobertas matemáticas específicas. Sabe-se que Tales viajou ao Egito e Babilônia onde teria aprendido que um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. No entanto, atribui-se a ele a demonstração desse teorema e de outros quatro da geometria. Por isso Tales foi considerado o originador da organização dedutiva da geometria.
Credita-se aos gregos, com segurança, a introdução da estrutura lógica à geometria, mas não se sabe se devido à Tales ou a outros depois dele.
Outro personagem de destaque no mundo grego é Pitágoras. Este não era só um matemático, mas um filósofo, envolvido especialmente com religião e até mesmo política. Contemporâneos de Pitágoras são Buda, Confúcio e Lao-Tse, caracterizando, portanto, esse tempo como de intensa atividade religiosa.
Pitágoras, de volta do Egito e Babilônia (como Tales), fundou uma sociedade secreta que tinha base matemática e filosófica. Não se costuma falar em descobertas de Pitágoras, mas sim dos pitagóricos, pois a sociedade por ele fundada, além de secreta tinha por norma que o conhecimento era comunitário, não sendo atribuído a um autor apenas.
Uma característica notável na escola pitagórica era a confiança no estudo da matemática e da filosofia como base moral para a conduta.
As palavras filosofia ("amor à sabedoria") e matemática ("o que é aprendido"), supõe-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras.
Os pitagóricos desempenharam um importante papel na história da matemática porque mudaram radicalmente a concepção egípcia e babilônia. A matemática, para os pitagóricos era incluída na definição de filosofia, os rituais a que eram submetidos tinham muito de matemática. Para o egípcios e babilonios a aritmética tinha muito mais a ver com situações práticas e concretas.
Segundo Aristóteles, para os pitagóricos o número significava matéria. Assim, eles chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície de três e um sólido de quatro. A soma de pontos gerava retas, a de retas, superfícies e a de superfícies, sólidos. De maneira que com seus um, dois, três e quatro, poderiam construir o universo! O número 10 era especial para os pitagóricos, pela crença conhecida como tetractys (conjunto de quatro). Pitágoras dizia que contar 1, 2, 3, até 4 era igual a 10, um triângulo perfeito "nosso juramento": "ele que tem confiado a tetractys à nossa alma, a fonte e a raiz da natureza eterna".
Realmente, os pitagóricos revolucionaram o pensamento matemático, pela evidente característica filosófica que lhe atribuíram.
No século III a.C. estabeleceu-se a estrutura axiomática da matemática, com Euclides, que unificou uma coleção completa de teoremas isolados num sistema simples e dedutivo. Baseando-se em postulados iniciais, definições e axiomas.
Assim começa a real abstração matemática, discutindo-se a existência ou não do infinito, os números infinitesimais, os paradoxos de Zenon, e as relações do universo.
Por: Alunos do curso de Licenciatura em Ciências Exatas da USP de São Carlos.
terça-feira, 9 de novembro de 2010
Momento Humorístico...e Matemático
Joãozinho está indo muito mal em matemática.
Os pais já tentaram de tudo: aulas
particulares, brinquedos educativos, centros
especializados, terapia, nada adiantou.
Aí ouvem dizer que há uma escola de freiras
no bairro que é muito boa, e resolvem fazer
mais uma tentativa.
No primeiro dia, Joãozinho volta para casa
com a cara séria e vai direto para o quarto,
sem nem mesmo cumprimentar a mãe.
Ele senta na escrivaninha e estuda. Estuda
sem parar.
A mãe o chama para jantar. Ele janta
rapidinho e volta imediatamente aos estudos.
A mãe nem acredita. Isso dura já algumas
semanas.
Um dia, Joãozinho volta para casa com o
boletim, que entrega a mãe.
Nota 10 em matemática! A mãe não se contém e
pergunta:
- - Filho, me diga o que fez você mudar deste
jeito? Foram as freiras?
Joãozinho balança a cabeça negativamente.
- - O que foi, então? - insiste a mãe - Foram
os livros, a disciplina, a estrutura de
ensino, o uniforme, os colegas, O QUE FOI???
Joãozinho olha para a mãe e diz:
- - No primeiro dia quando eu vi aquele cara
pregado no sinal de mais, percebi que eles
não estavam brincando...
particulares, brinquedos educativos, centros
Aí ouvem dizer que há uma escola de freiras
no bairro que é muito boa, e resolvem fazer
mais uma tentativa.
No primeiro dia, Joãozinho volta para casa
com a cara séria e vai direto para o quarto,
Ele senta na escrivaninha e estuda. Estuda
sem parar.
A mãe o chama para jantar. Ele janta
A mãe nem acredita. Isso dura já algumas
semanas.
Um dia, Joãozinho volta para casa com o
boletim, que entrega a mãe.
Nota 10 em matemática! A mãe não se contém e
pergunta:
- - Filho, me diga o que fez você mudar deste
jeito? Foram as freiras?
Joãozinho balança a cabeça negativamente.
- - O que foi, então? - insiste a mãe - Foram
os livros, a disciplina, a estrutura de
ensino, o uniforme, os colegas, O QUE FOI???
Joãozinho olha para a mãe e diz:
- - No primeiro dia quando eu vi aquele cara
pregado no sinal de mais, percebi que eles
não estavam brincando...
segunda-feira, 8 de novembro de 2010
Equação do 1° Grau
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
0 )Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b
x = -b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.
4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
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