O Último Teorema de Fermat

O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat nasceu dia 20 de agosto de 1601, na cidade de Beaumont-de-Lomagne, no sudoeste da França. Seu pai era um homem rico, sendo assim, Fermat teve uma educação privilegiada. Devido à pressão de sua família, Fermat seguiu carreira pública, foi um Juiz francês que nasceu e viveu em Toulouse, França, possuía uma cultura universal que na época cultivava a poesia, filosofia grega, direito e principalmente Matemática. 

Nas cartas que Fermat escrevia os enunciados de seus teoremas, não colocava suas demonstrações, sendo assim desafiava seus contemporâneos a encontrar a prova de seu teorema. E de fato, ele nunca revelava suas próprias provas. Gostava de propor problemas do tipo desafio, para outros matemáticos, pois dedicava todo seu tempo livre à matemática, sendo seu hobby, sendo assim foi considerado pelos matemáticos um estudioso amador e também juntamente com Descartes um dos criadores da Geometria Analítica, onde suas idéias sobre métodos das tangentes contêm as raízes do Cálculo Diferencial. 

É difícil encontrar publicação de Fermat, pois raramente ele se encontrou pessoalmente com grandes matemáticos de sua época. Suas comunicações estavam em suas cartas que era enviada pelo padre Marin Mersenne, e seu amigo Pierre de Carcavy, que circulavam seus manuscritos. 

Estes manuscritos foram selecionados e transformados em forma de um livro, por seu filho Samuel. Grande parte de seus trabalhos e problemas foram resolvidos nos 200 anos seguintes à sua morte.

O Nascimento de um Enigma

Fermat dedicava boa parte do seu tempo de laser à matemática, mas não há registro de que tenha adquirido interesse pela matemática sendo influenciado por algum autor, mas simplesmente uma cópia de aritmética que se tornou seu mestre.

A aritmética tentava descrever a teoria dos números, como no tempo de Diofante, através de uma série de problemas e soluções, ou seja, em um único livro de Diofante, Fermat podia encontrar todo conhecimento dos números obtido por Pitágoras e Euclides.

A teoria dos números desde o incêndio em Alexandria, não tinha mais progredido, então Fermat estava pronto para retomar o estudo sobre a teoria dos números.

Fermat estudava a Aritmética que continha mais de cem problemas com suas respectivas soluções, mas ele não se interessa nelas, mas sim em escrever novos problemas, com novas descobertas. Uma de suas descobertas foram os “números amigos”.

Enquanto Fermat estudava o Livro II de Aritmética, encontrou problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras e os Trios Pitagóricos e ficou impressionado. Ele começou a analisar o teorema de Pitágoras, tentando descobrir alguma coisa que tivesse passado despercebido pelos gregos. 

Num certo instante, ele criou uma equação muito semelhante ao teorema de Pitágoras, que por sua vez, não tinha solução.

No lugar de considerar a equação de Pitágoras:

x²  +  y²  = z²

Fermat contemplava uma variante da criação de Pitágoras:

x³  +  y³  =  z ³

Fermat nesta equação tinha apenas mudado as potências, mas sua nova equação aparentemente não tinha solução para qualquer número inteiro. Então ele alterou ainda mais a equação, trocando as potências para números maiores do que três, mas a solução para mesma era difícil.

Para Fermat parecia não existir um trio de números que se encaixasse perfeitamente na equação:

xn  +  yn  =  z n , onde n representa números 3,4,5...

Fermat afirmava que em parte alguma do infinito universo dos números existia um “trio fermatiano”, que solucionasse o problema. Era uma firmação extraordinária, onde Fermat afirmava que podia prová-la, mas não deixou a solução. Em um comentário a margem do livro ele diz: “Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é muito estreita para conte-la”.

Fermat nunca falou a ninguém sobre sua prova, sendo assim seu teorema foi chamado mais tarde de “O Último Teorema de Fermat”, que se tornou famoso no mundo inteiro.

O Último Teorema de Fermat foi considerado um enigma por que levou séculos para ser provado. A fama deste enigma se espalhou pelo mundo todo, especialmente entre os matemáticos, levando alguns a direcionar todas suas pesquisas para resolvê-lo.

Foi na biblioteca da Rua Milton, que um menino de dez anos, Andrew Wiles, viu esta equação:

No lugar de considerar a equação de Pitágoras:

x²  +  y²  = z²

Fermat contemplava uma variante da criação de Pitágoras (com n inteiro maior que 2):

xn  +  yn  =  z n

O menino ficou encantado com está afirmação e resolveu estudá-la.

Andrew Wiles

Andrew Wiles nasceu em 1954 na Inglaterra, estudou matemática em Cambridge com um grande especialista em teoria de números, John Coates. Após isso, veio para Harvard onde passou dois anos e resolveu dois problemas em aberto sobre teoria dos números. Foi professor em Princeton. 

Em 1963, quando tinha dez anos, já era fascinado pela matemática, adorava resolver problemas na escola, levava-os para casa e criava outros, mas os melhores problemas encontrava na biblioteca local. 

Um dia quando voltava para casa decidiu passar na biblioteca da Rua Milton, uma pequena biblioteca, mas tinha uma boa coleção de livros sobre enigmas, neste dia Andrew foi atraído por um livro que tinha apenas um problema, mas sem solução.

O livro era “O Último Problema”, de Eric Temple Bell, onde apresentava a história de um problema matemático de origem grega, mas só atingiria sua maturidade no século XVII, quando Fermat o colocara como desafio, e que durante trezentos anos nenhum matemático tinha conseguido a solução. Além do problema, o livro continha a tentativa de vários matemáticos em solucioná-lo.

Os Matemáticos que Contribuíram na Resolução do Último Teorema de Fermat

Durante os séculos XVIII, XIX e início do século XX, vários matemáticos brilhantes tentaram solucionar o Último Teorema de Fermat, embora esses esforços tenham terminado em fracasso, eles levaram à criação do maravilhoso arsenal de ferramentas e técnicas matemáticas que foram vitais para as últimas tentativas de se conseguir uma demonstração.

Euler

Quem fez o primeiro avanço em direção à prova do Último Teorema de Fermat, foi Euler, com sua memória e intuição incríveis. Sobre ele, Fraçois Arago disse: “Euler calcula sem qualquer esforço aparente, como os homens respiram e as águias se sustentam nos ventos”.

Leonard Euler nasceu em Basiléia, em 1707, filho de um pastor calvinista que, apesar do talento prodigioso demonstrado pelo filho para a matemática, determinou que seu filho estudasse teologia. Felizmente, a Basiléia era também o lar dos Bernoulli, que eram muito amigos de Euler, e intercederam por ele junto a seu pai, que também havia estudado matemática junto ao patriarca da família Bernoulli, e acabou aceitando que o filho tinha nascido para calcular e não para pregar.

Nesta época as potências européias estavam interessadas somente no uso da matemática para a solução de problemas práticos, o que não prejudicou Euler em sua habilidade matemática e lhe deu a reputação de ser capaz de resolver qualquer problema.

Ao deparar-se com o Último Teorema de Fermat, Euler imaginou se não poderia provar que uma das equações não tinha solução e então extrapolar o resultado para todas as infinitas equações restantes. Inicialmente, Euler provou o caso por contradição para n=3 (Supondo que o teorema fosse verdadeiro para n=3, chegou a uma contradição), no entanto não teve sucesso para outros casos.

Sophie Germain

Para realizar suas pesquisas Sophie foi obrigada a assumir uma identidade falsa, estudar sob condições terríveis e trabalhar em isolamento intelectual. Seu interesse pela matemática iniciou ao se deparar com a história de Arquimedes, que envolvido em um problema de geometria não respondeu a pergunta de um soldado romano que, por isso, lhe tirou a vida. Ora, se alguém podia envolver-se de tal forma com a matemática a ponto de perder a vida, este deveria ser o assunto mais interessante a ser estudado, pensou Sophie, e logo estava dormindo tarde para estudar os trabalhos de Euler e Newton. Para impedir os estudos da filha, o pai de Germain escondeu seus agasalhos e suas velas, mas ela reagiu mantendo um estoque secreto de velas e se enrolando nas roupas de cama. Mais tarde seus pais aceitaram o fato e deram seu apoio aos estudos da filha. Germain nunca se casou, sendo seu pai quem lhe financiava os estudos. Sempre estudou sozinha pois seus professores não lhe levavam a sério.

Mais tarde Germain passou a usar a identidade de um ex-aluno da École Polytechnique, e receber assim as aulas e problemas que eram destinados a Monsieur Antonie-August Lê Blanc. Seu bom desempenho na resolução dos problemas passou a chamar atenção do supervisor do curso, Joseph-Louis Lagrange, que solicitou um esncontro, quando Germain teve que revelar sua verdadeira identidade. Passou então a ser reconhecida e incentivada em seus estudos.

Sophie trabalhou com o Último Teorema de Fermat durante muitos anos, quando acreditou ter feito uma descoberta importante e precisava debater suas idéias, foi direto consultar o maior teórico dos números de todo o mundo, o matemático Carl Friedrich Gauss, que nunca publicou nada sobre o teorema, apenas manifestou-se em uma carta a um amigo dizendo: “Fico-lhe muito grato pela noticia referente ao prêmio de Paris. Mas confesso que o Último Teorema de Fermat, como uma proposição isolada, tem muito pouco interesse para min. Eu poderia facilmente apresentar uma série de proposições semelhantes que ninguém poderia provar ou desmentir.” Alguns historiadores suspeitam que seu descaso pelo problema seja conseqüência de uma tentativa fracassada de conseguir algum progresso na solução. Nesta carta Sophie voltou a usar seu pseudônimo, temendo que Gauss não a levasse a sério por ser uma mulher. 

Após a publicação de Euler 75 anos se passaram sem que houvesse progresso, Germain, contudo, adotar uma nova estratégia chamada abordagem geral para o problema, em outras palavras, seu objetivo imediato não era provar um caso particular, mas sim dizer algo sobre muitos casos de uma só vez, tomando como base um tipo especial de número primo, e acabou demonstrando que para aqueles valores particulares de n não havia solução. Mais tarde, alguns estudiosos, baseados no trabalho de Germain conseguiram demonstrar o teorema para n = 5 e n = 7.

Gabriel Lamé e Augustin Louis Cauchy

Tanto Gabriel Lamé como Augustin Louis Cauchy anunciaram em março de 1847 que estavam prestes a publicar a demonstração completa para o Último Teorema de Fermat, assim, três semanas depois, ambos depositaram envelopes lacrados no cofre da Academia Francesa de Ciências, que depois das descobertas de Sophie Germain passou a oferecer uma medalha de ouro e três mil francos ao matemático que finalmente demonstrasse o teorema. O depósito dos envelopes era comum naquela época, o que permitia aos matemáticos fazerem um registro sem revelar os detalhes exatos de seu trabalho, se mais tarde surgisse uma disputa quanto à originalidade das idéias, os envelopes lacrados ofereceriam a evidência necessária para estabelecer a prioridade.

No entanto, antes que qualquer um dos dois publicasse a demonstração tão esperada, Ernest Kummer percebeu que ambos se encaminhavam para o mesmo beco sem saída, usavam a fatoração única, verdadeira dentro dos reais, porém trabalhavam dentro dos imaginários.

Paul Wolfskehl

Paul Wolfskehl não fez nenhuma grande contribuição, mas sua história está intimamente ligada ao problema. Paul estava desiludido amorosamente e planejou se suicidar, em determinado dia, exatamente a meia-noite, no entanto, muito antes da hora marcada já estava com tudo pronto, para ocupar-se até o horário marcado, tomou um livro, pois era fascinado por problemas, e logo se deparou com o Último Teorema de Fermat, e examinando os trabalhos de Lamé, Cauchy e Kummer, deixou-se levar e perdeu o horário marcado para o suicídio. Wolfskehl acreditava ter achado um erro no trabalho de Kummer, que, se fosse de fato um erro, não invalidaria o trabalho de Lamé e Cauchy.

Infelizmente, para a matemática, o trabalho de Kummer estava correto, no entanto Wolfskehl reescreveu seu testamento deixando parte de sua fortuna para quem demonstrasse o Último Teorema de Fermat.

Iniciou-se então uma época em que muitos matemáticos tentaram resolver o problema, pois além do prestígio por resolvê-lo teriam uma recompensa em dinheiro.

Taniyama e Shimura

Yutaka Taniyama e Goro Shimura estudavam na Universidade de Tóquio, e seu primeiro contato foi através de cartas, Shimura necessitava de um livro da biblioteca para resolver um problema, que, para sua surpresa não estava lá, mas sim com, o até então desconhecido, Taniyama. Shimura escreveu-lhe então uma carta, explicando a situação, e recebeu como resposta um cartão-postal, onde Taniyama dizia que estava estudando o mesmo problema e encontrara a mesma dificuldade e sugeriu que os dois se encontrassem para trocar idéias sobre o problema em questão.

Assim começou a amizade entre esses dois grandes matemáticos: Taniyama, que durante a infância tivera seus estudos interrompidos várias vezes por doenças e pela guerra e Shimura, um ano mais novo que seu amigo, mas que também tivera seu estudo interrompido pela guerra, além de não poder trabalhar, Shimura precisou trabalhar durante a guerra, auxiliando na construção de partes de aviões. Á noite Shimura tentava recuperar seus estudos perdidos e assim sentiu-se mais atraído pela matemática do que pelas outras matérias. Shimura sempre fora mais conservador e tradicional, enquanto Taniyama era despreocupado a ponto de ser preguiçoso, uma característica invejada por seu colega Shimura que declarou: “Ele tinha a capacidade especial de cometer muitos erros a maioria na direção certa. Eu o invejava por isso e tentei imitá-lo em vão, mas descobri que era muito difícil cometer bons erros.”

Um dos assuntos que fascinava a ambos eram as formas modulares, que é caracterizada por seu nível excessivo de simetria (rotacional, reflexiva e translacional), podendo ser transformado de forma especial e depois disso continuar com a mesma imagem. Uma forma modular é estudada em um espaço quadridimensional, chamado de espaço hiperbólico, com dois eixos reais e dois imaginários. As formas modulares podem ter vários tamanhos e formas, mas cada uma é construída com os mesmos ingredientes básicos, o que diferencias cada forma modular é a dosagem de cada ingrediente contido nela. As informações a respeito de uma forma modular geram uma série modular, ou série M, uma receita com ingredientes e a quantidade necessária de cada um:

Série : M1 = 1

M2 = 3

M3 = 2

e assim por diante.

Assim como a série E é o DNA das equações elípticas, a série M é o DNA das formas modulares. Apesar disso, as equações elípticas e as formas modulares eram vistas em regiões completamente diferentes da matemática, contudo, Taniyama e Shimura iriam chocar a comunidade matemática sugerindo que as equações elípticas e as formas modulares eram na verdade uma coisa só. Taniyama examinou algumas formas modulares e em cada caso a série M parecia corresponder perfeitamente com a série E de uma equação elíptica.

Taniyama se suicidou em 17 de novembro de 1958, aos 31 anos de idade, na carta que deixou relatou que nem mesmo ele sabia ao certo o motivo de seu ato. Shimura prosseguiu no seu trabalho, tentando mostrar que de fato as equações elípticas e as formas modulares estavam intimamente ligadas. Mesmo não provando, esta conjectura passou a ser aceita e utilizada por muitos matemáticos para resolver outros problemas.

Gerhard Frey

Em um simpósio, para um seleto grupo, Gerhard Frey, embora não tivesse nenhuma nova idéia de como abordar a conjectura Taniyama-Shimura, fez uma afirmação extraordinária de que qualquer um que pudesse provar que a conjectura era verdadeira também demonstraria imediatamente o Último Teorema de Fermat.

Frey “transformou” a equação de Fermat em uma equação elíptica, usando uma solução geral. Se essa fosse de fato uma solução, sua série M não se constituiria em uma série modular, portanto, a conjectura Taniyama-Shimura cairia por terra. Por outro lado, se fosse provada a conjectura Taniyama-Shimura aquela não poderia ser uma solução para a equação de Fermat, e, assim, estaria provado que não existem soluções para a equação de Fermat e o Último Teorema de Fermat estaria provado.

Era necessário então, primeiramente, mostrar que a solução geral adotada, não se constituiria em uma série M. O que foi feito por Ken Ribert, inspirado por Barry Mazur durante um café. O Último Teorema de Fermat estava de fato intimamente ligado a conjectura Taniyama-Shimura, e agora poderia ser abordado por contradição.

Resolução do Último Teorema de Fermat - Andrew Wiles

Trinta anos depois de Andrew ter lido o relato de Bell, ainda se lembrava do que sentira ao ser apresentado ao Último Teorema de Fermat, onde parecia tão fácil, e no entanto ninguém tinha solucionado. Desde os dez anos Wiles acreditava que tinha que resolver o problema de Fermat: xn  +  yn  =  z n

O problema é muito parecido com um teorema que já conhecemos dentro da matemática, o teorema de Pitágoras: x²  +  y²  = z²

Três décadas tinham se passado desde que Andrew tinha encontrado o livro, onde o desafiara a encontrar a solução, mas quando soube dos resultados de Ribet, ele resolveu que poderia resolver O Último Teorema de Fermat.

Andrew Wiles decide se isolar por sete anos até apresentar uma solução ao problema, levou dezoito meses estudando os elementos matemáticos que foram usados, ou que derivam das equações elípticas e das formas modulares. Ele abandonou todos os trabalhos que não fossem relevantes para a demonstração do Último Teorema de Fermat, inclusive deixou de participar de conferências. Neste período Wiles resolveu trabalhar em completo isolamento e segredo na sua demonstração, a única pessoa que sabia de seu segredo era sua esposa.

Para demonstrar O último Teorema de Fermat  Wiles tinha que provar a conjectura de Taniyama-Shimura, onde cada equação elíptica teria que ser relacionada com uma forma modular. Wiles utiliza os trabalhos de Évarist Galóis para demonstrar a conjectura, sendo uma brilhante demonstração.

Depois de seis anos de isolamento Wiles partilhara seu segredo com Katz, quando o mesmo o ajudou a analisar sua demonstração, num curso sobre curvas elípticas que Andrew ministrou na universidade de Princeton. Neste período do curso, Katz assistia as aulas para ver se tinha algum erro. Segundo o Katz não tinha nada a ser alterado e Wiles poderia publicar sua demonstração.

Depois de sete anos de estudo, Wiles tinha completado a demonstração da conjectura de Taniyama-Shimura, e como conseqüência, a demonstração do Último Teorema de Fermat, então poderia anunciar o mesmo.

Em maio de 1993 Wiles acreditava que estava provado o teorema, então no final do mês de junho em uma conferência na cidade de Cambridge (sua terra natal), no instituto Isaac Newton, anunciou sua demonstração.

Nesta conferência, Wiles realizou várias palestras até terminar sua demonstração, quando Wiles concluiu sua última palestra, sua demonstração tinha que ser submetida a um exame de avaliação, onde foram distribuídas partes da demonstração para que os matemáticos avaliassem.

Na parte que Katz tinha para analisar ocorreu um erro, então ele comunicou Wiles, mas em segredo do resto da comissão, para que Wiles a corrigisse. Ele tinha que corrigir o erro antes que a comunidade percebesse. Seis meses passados, Wiles ainda não tinha conseguido corrigir o erro, mas continuou persistindo. E disse a comunidade que precisava de mais tempo para aprontar seus manuscritos.

Como o tempo ia passando, Peter Sarnak sugeriu que Wiles conseguisse um auxiliar, então pensou em Richard Taylor um dos avaliadores e ex-aluno.

Wiles e Taylor dedicaram quatorze meses de trabalho, após Wiles ter anunciado a demonstração, para corrigir o erro, então a demonstração estava pronta. 

Wiles presenteou o aniversário de sua esposa com a prova do Último Teorema de Fermat, pois foi ela a única que sabia de seu maior sonho. 

Andrew Wiles levou oito anos de total estudo para demonstrar o Último Teorema de Fermat, publicado em 1995.

Conclusão

Pierre Fermat foi considerado um amador de Matemática, no século XVII, que dedicou seus estudos a teoria dos números. 

Os matemáticos, hoje em dia, acham que Fermat se enganou e logo descobriu que sua prova estava errada. Pois, se estivesse correta, ele a teria enviado em suas cartas aos colegas, como costumava fazer. Aliás, é curioso notar que, em todo seu extenso trabalho matemático, Fermat apenas enunciava os teoremas, todos muito importantes, sem demonstrá-los. 

O Teorema de Fermat é praticamente todo matemático, ilustre ou não, desde 1630 até hoje, gastou algum tempo tentando achar uma forma de demonstrá-lo, onde durante o período que teve várias tentativas para demonstrá-lo foram oferecidos vários prêmios por instituições, que a ter várias provas erradas.

Finalmente, em 1993, o matemático inglês Andrew Wiles apresentou uma demonstração que, aparentemente, resolvia o problema. Como previsto, essa demonstração era bastante complicada e não foi logo entendida pelos colegas. O próprio Wiles, logo após sua apresentação, descobriu falhas na demonstração e achou melhor retirá-la. Depois de trabalhar arduamente por mais um ano, em setembro de 1994, Wiles apresentou uma nova prova, mais simples que a primeira, que é considerada pela comunidade de matemáticos como correta. 

Até que enfim, depois de mais de três séculos infernizando a vida dos matemáticos, o Último Teorema de Fermat foi vencido.

O Teorema de Fermat, sem nenhuma dúvida, foi o problema mais famoso da Matemática, desde que foi enunciado no século 17.

Este é um video para que vocês entendem um pouco melhor esse assunto:

Esperamos que gostem do assunto!!